تست حساب دیفرانسیل

تست حساب دیفرانسیل فصل اول

 
متوسط - طراحی مولف

16) کدام یک از گزینه‏های زیر نادرست است؟
1) هر زیر مجموعه‏ی غیرتهی و از بالا کران‏دار مجموعه‏ی اعداد حقیقی، دارای کوچک‏ترین کران بالا است.
2) هر زیر مجموعه‏ی نامتناهی، بی‏کران است.
3) هر مجموعه‏ی بی‏کران، نامتناهی است.
4) هر مجموعه‏‏‏ا‏ی که عضو ابتدا و انتها داشته باشد، کران‏دار است.

پاسخ:
گزینه‏ی2)؛
متوسط - طراحی مولف

36) اگر برای هر داشته باشیم، آن‏گاه کدام گزینه در مورد مجموعه مقادیر درست است؟
1) کران‏دار است.
2) دارای عضو می‏نیمم صفر است.
3) کوچک‏ترین کران بالای آن است.
4) دارای بزرگ‏ترین کران پایین  است.

پاسخ:
گزینه‏‏‏‏ی4)؛
  
با توجه به این‏‏‏‏که ، لذا جواب معادله‏‏‏‏ی  از حل معادله‏‏‏‏ی به‏‏‏‏دست می‏‏‏‏آید. بنابراین داریم:
 
بنابراین مجموعه مقادیر دارای بزرگ‏‏‏‏ترین کران پایین است.
متوسط - طراحی مولف

37) معادله‏ی چند جواب دارد؟
2)
1)
4) بی‏شمار
3)

پاسخ:
گزینه‏ی3)؛ از آن‏‏‏‏جایی که طرف چپ معادله، عددی صحیح است، راست معادله یعنی نیز باید صحیح باشد. پس داریم:
 
   یا   یا
متوسط - طراحی مولف

38) اگر، آن‏‏‏گاه ماکسیمم کدام است؟
 (ریاضی65-64)
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏‏‏‏ی2)؛  برای اعداد نامنفی،  داریم . در نتیجه داریم:
 
متوسط - طراحی مولف

39) مجموعه جواب‏‏‏های حقیقی نامعادله‏‏‏ی  کدام است؟
 (ریاضی مرحله دوم75-1374)
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏‏‏‏ی3)؛
 
 
پس مجموعه جواب نامعادله است.
متوسط - طراحی مولف

40) مجموعه‏‏‏ جواب معادله‏ی کدام است؟
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏ی4)؛
با توجه به تابع، داریم:
 
 
  
متوسط - طراحی مولف

41) اگر مجموعه‏‏‏ی دارای بزرگ‏ترین کران پایین در نباشد، آن‏‏‏گاه کدام است؟
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏‏‏‏ی3)؛
 
اگر، آن‏‏‏‏گاه مجموعه‏‏‏‏ی کران‏‏‏‏دار است، اما کوچک‏‏‏‏ترین کران بالا و بزرگ‏‏‏‏ترین کران پایین در ندارد.
متوسط - طراحی مولف

42) معادله‏ی چند جواب دارد؟
2) صفر
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏ی1)؛
 
متوسط - طراحی مولف

43) در کدام بازه مقادیر تابع با ضابطه‏‏‏ی کمتر از مقادیر تابع با ضابطه‏‏‏ی می‏‏‏باشند؟  (ریاضی-1381)
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏‏‏‏ی1)؛
 
عبارت همواره مثبت است. پس نامعادله  جواب ندارد و از طرفی داریم:
 
متوسط - طراحی مولف

44) اگریک عدد حقیقی و، آن‏گاه کدام گزینه درست است؟
1) کران‏دار است و
2) کران‏دار است و
3) کران‏دار نیست و
4) کران‏دار نیست و

پاسخ:
گزینه‏‏‏‏ی1)؛ همه‏‏‏‏ی اعضای مجموعه‏‏‏‏ی بین دو عدد صفر و یک هستند، پس کران‏‏‏‏دار است و داریم:
 
کران‏‏‏‏دار است و ماکسیمم مجموعه است.
متوسط - طراحی مولف

45) گزاره‏ی  معادل کدام گزینه است؟ (معادل «یا» و  معادل «و» است.)
1)
2)
3)
4)

پاسخ:
گزینه‏ی2)؛
با توجه به این‏‏‏‏که می‏‏‏‏دانیم و هم‏‏‏‏چنین نقیض،را به تبدیل می‏‏‏‏کند، گزینه‏‏‏‏ی 2 درست است.
متوسط - طراحی مولف

46) مجموعه جواب نامعادله‏‏‏ی بازه‏‏‏ی می‏‏‏باشد. طول این بازه کدام است؟
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏‏‏‏ی3)؛
 

 
متوسط - طراحی مولف

47) اگر ، آن‏‏‏گاه کدام گزینه درست است؟
1) و ماکسیمم ندارد.
2)  و ماکسیمم ندارد.
3) و می‏‏‏نیمم ندارد.
4)  و می‏‏‏نیمم ندارد.

پاسخ:
گزینه‏ی2)؛
 
 
بنابراین مجموعه دارای عضو می‏نیمم است و عضو ماکسیمم ندارد.
متوسط - طراحی مولف

48) کدام یک از مجموعه‏های روبه‏‏‏رو کران‏دار هستند؟
 
2)
1)
4) هیچ‏‏‏کدام
3) هر دو

پاسخ:
گزینه‏ی2)؛ مجموعه‏‏‏‏ی شامل تمام بازه‏هایی به‏‏‏‏صورت  و  است که  و در نتیجه این مجموعه کران‏دار نیست و از طرفی داریم: 
بنابراین که مجموعه‏‏‏‏ا‏ی کران‏دار است.
متوسط - طراحی مولف

49) اگر عددی گویا و مخالف صفر و عددی گنگ باشد، آن‏‏‏گاه کدام‏‏‏ گزینه ممکن است گویا باشد؟
 (سراسری ریاضی- 1350)
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏‏‏‏ی1)؛ ممکن است گویا یا گنگ باشد. به عنوان مثال داریم:
     
بنابراین می‏‏‏‏تواند گویا باشد.
متوسط - طراحی مولف

50) اگر، آن‏گاه زوج کدام است؟
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏ی1)؛ چون هر بازه‏ییک همسایگی متقارن به مرکز و شعاع است، بنابراین داریم:
 
 
 
متوسط - طراحی مولف

51) اگر، آن‏‏‏گاه مقدار کدام است؟
2)
1) صفر
4) تعریف نمی‏‏‏شود.
2)

پاسخ:
گزینه‏‏‏‏ی2)؛
 
متوسط - طراحی مولف

52) اگر عددی گنگ و عددی گویا و مخالف صفر باشد، آن‏‏‏گاه کدام گزینه حتماً گنگ خواهد بود؟
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏ی3)؛
 
گنگ و گویا است، پس  گنگ است. (برای گزینه‏‏‏‏های دیگر مثال نقض پیدا کنید.)
متوسط - طراحی مولف

53) اگرشعاع همسایگی متقارن حذوف
برابر  باشد، آن‏‏‏گاه شعاع همسایگی متقارن نظیر نامساوی  کدام است؟
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏ی1)؛
 
 
متوسط - طراحی مولف

54) کدام یک از گزاره‏‏‏های زیر نادرست است؟
1) کران‏دار است.
2) کامل است.
3) کامل نیست.
4) اشتراک مجموعه‏‏‏ی کران‏‏‏های بالا و مجموعه‏‏‏ی کران‏‏‏های پایین یک مجموعه، همواره تهی است.

پاسخ:
گزینه‏‏‏‏ی4)؛ مثال نقض: اشتراک مجموعه‏‏‏‏ی کران‏‏‏‏های بالا و کران‏‏‏‏های پایین مجموعه‏‏‏‏یبرابر است. یعنی:
 
متوسط - طراحی مولف

55) دامنه‏‏‏ی تابع کدام است؟
 (آزاد ریاضی-1381)
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏‏‏‏ی3)؛

 
متوسط - طراحی مولف

56) معادله‏ی چند جواب دارد؟
2)
1)
4) صفر
3)

پاسخ:
گزینه‏ی2)؛ روش اول:
 
بنابراین معادله دو جواب دارد.
روش دوم: 
حاصل‏‏‏‏ضرب ریشه‏های معادله منفی است. پس معادله‏ی فوق دو ریشه‏‏‏‏ی قرینه دارد که فقط ریشه‏ی مثبت قابل قبول است.
 
در این معادله نیز دو ریشه‏ی قرینه داریم که فقط ریشه‏ی منفی قابل قبول است. بنابراین معادله‏ی دارای دو ریشه است.
متوسط - طراحی مولف

57) اگر، آن‏گاه برد تابع  شامل چند عدد صحیح  است؟
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏ی3)؛
 
بنابراین مقادیر،،،، و را اختیار می‏‏‏‏کند.
متوسط - طراحی مولف

58) دامنه‏ی تعریف تابع  کدام است؟
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏ی4)؛
 
متوسط - طراحی مولف

59) کدام‏‏‏یک از گزاره‏‏‏های زیر نادرست است؟
1) برای هر حقیقی عدد صحیح وجود دارد به طوری که.
2) اگر و آن‏گاه عدد طبیعی وجود دارد که.
3) برای هر عدد حقیقی عدد طبیعی وجود دارد که.
4)کوچک‏ترین عدد گویایی که از تمام اعضای مجموعه ی  بزرگ‏‏‏تر باشد، وجود ندارد.

پاسخ:
گزینه‏‏‏‏ی3)؛ برای عدد حقیقی عدد طبیعی وجود نداردکه. صورت صحیح گزاره به شکل زیر است:
«برای هر عدد حقیقی، عدد طبیعی وجود دارد به‏‏‏‏طوری‏‏‏‏که است.»
متوسط - طراحی مولف

60) متغیر به گونه‏‏‏ای انتخاب شده است که برای هر عدد طبیعی  داریم. کدام‏‏‏یک از مجموعه‏‏‏های زیر مقادیر را مشخص می‏‏‏کند؟
1)
2)
3)
4)

پاسخ:
گزینه‏‏‏‏ی1)؛ به ازای هر داریم:
 
متوسط - طراحی مولف

61) اندازه‏ی اضلاع مثلث قائم‏‏‏الزاویه‏ای،و می‏‏‏باشد. طول چند ضلع مثلث عدد اصم است؟
2)
1)
4) صفر
3)

پاسخ:
گزینه‏ی2)؛

 
 
متوسط - طراحی مولف

62) نمودار تابع کدام است؟

2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏‏‏‏ی2)؛
 و
 
 
متوسط - طراحی مولف

63) اگر عددی گنگ باشد، آن‏‏‏گاه کدام گزینه همواره گنگ است؟
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏‏‏‏ی4)؛  عددی گنگ است پس نیز گنگ می‏‏‏‏باشد، زیرا در غیر این‏‏‏‏صورت عددی گویا می‏‏‏‏شود که تناقض است در نتیجه عددی گنگ است.
دلیل رد سایر گزینه‏‏‏‏ها:
(گزینه‏‏‏‏ی1): 
(گزینه‏‏‏‏ی2): 
(گزینه‏‏‏‏ی3): 
متوسط - طراحی مولف

64) چند عدد حقیقی وجود دارد که به ازای هر مقدار طبیعی، در رابطه‏ی صدق می‏‏‏کنند؟
2) بی‏شمار
1) صفر
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏ی4)؛
 
چون رابطه به ازای هر برقرار است، داریم:
 
  یا یا
در نتیجه سه عدد حقیقی وجود دارند که برای هر مقدار طبیعیدر رابطه‏ی مورد نظر صدق می کنند.
متوسط - طراحی مولف

65) مقدار مساحت ناحیه‏ی محدود به نمودار معادله‏ی   و محورها برابر کدام است؟
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏ی1)؛
    و  
 

متوسط - طراحی مولف

66) مجموع جواب‏های معادله‏یدر بازه‏ی  کدام است؟
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏ی3)؛
  
بنابراین جواب‏های معادله در بازه‏ی عبارت‏اند از  که مجموع این ده عدد برابر است با:
 
متوسط - طراحی مولف

67) کدام مجموعه‏ی زیر کران‏دار نیست؟
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏ی4)؛ چون پس کران‏‏‏‏دار نیست. بقیه‏ی گزینه‏‏‏‏ها هم‏‏‏‏گرا و در نتیجه کران‏‏‏‏دار هستند.
متوسط - طراحی مولف

68) اگریک همسایگی متقارنبه شعاع  و  یک همسایگی متقارن محذوف  به شعاع باشد، آن‏گاه کدام گزینه درست است؟
1) یک همسایگی متقارن و غیر محذوف  به شعاع است.
2) یک همسایگی متقارن و محذوف  به شعاع است.
3) یک همسایگی متقارن و محذوف  به شعاع است.
4) یک همسایگی متقارن و غیر محذوف  به شعاع است.

پاسخ:
گزینه‏ی2)؛ اشتراک دو همسایگی متقارن یک عدد، یک همسایگی  متقارن است که شعاع آن، برابر شعاع همسایگی کوچک‏‏‏‏تر می‏‏‏‏باشد و اجتماع آن دو، یک همسایگی متقارن است که شعاع آن، برابر شعاع همسایگی بیش‏تر می‏‏‏‏باشد. وقتی یکی محذوف باشد، اشتراک نیز محذوف است ولی اجتماع غیر محذوف می‏‏‏‏باشد.
متوسط - طراحی مولف

69) اگر  به ترتیب می‏نیمم و ماکسیمم مجموعه‏‏‏ی  باشند، آن‏‏‏گاه  کدام است؟
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏‏‏‏ی1)؛ به ازای، مقدار یک عدد صحیح می‏‏‏‏شود، پس داریم:
 
متوسط - طراحی مولف

70) اگر، آن‏‏‏گاه کدام گزینه همواره درست است؟
 (تجربی مرحله دوم- 1363)
2)
1)
4)
3)

پاسخ:
گزینه‏‏‏‏ی2)؛
  هم علامت هستند.
چون و هم علامت هستند، پس حاصل تقسیم آن‏‏‏‏ها همواره مثبت است، یعنی.
متوسط - طراحی مولف